Con il rilascio della versione 6.2 del software COMSOL Multiphysics® Le funzionalità di modellazione della dispersione elettrica possono ora essere estese al software Correnti elettriche che supporta la modellazione nel dominio del tempo e della frequenza. Questa funzionalità è particolarmente importante per la modellazione accurata di un’ampia classe di materiali, compresi gli isolanti e i tessuti viventi. Vediamo brevemente cos’è la dispersione e poi mostreremo come includerla nei modelli COMSOL e perché è importante.
Premessa
Quando si modellano impulsi veloci di corrente elettrica applicati a un tessuto vivente, come nel contesto dell’ablazione cardiaca, dell’elettroporazione o della stimolazione neurale, è necessario tenere conto della natura dispersiva del tessuto e degli isolanti elettrici.
Tutti i materiali sono elettricamente dispersivi, il che significa che la permittività relativa varia con la frequenza di eccitazione. La permittività è una misura di come un materiale risponde, o si polarizza, in presenza di un campo elettrico. L’entità di questa risposta varia con la frequenza a causa dei diversi atomi e molecole presenti nel materiale e della loro struttura. È anche una misura di quanta energia elettrica viene convertita in calore, o persa, quando il materiale è esposto a un segnale variabile nel tempo. Queste perdite sono dovute al movimento relativo degli atomi e delle molecole che oscillano nei campi variabili nel tempo. Quando si lavora nel dominio della frequenza, la permittività relativa viene espressa come numero complesso: \epsilon_r =\epsilon_r^{‘}- i \epsilon_r^{“}dove le componenti reali e immaginarie sono legate dalla formula relazioni di Kramers-Kronig. La figura seguente mostra due curve di dispersione di questo tipo, che rappresentano rispettivamente un materiale isolante e un tessuto vivente. Il primo ha una curva relativamente semplice, con proprietà quasi uniformi su un’ampia banda di frequenza, per cui si può notare che non è sempre necessario considerare la dispersione. D’altra parte, ci sarà sempre una banda di frequenza in cui le proprietà variano in modo significativo ed è necessario considerare la dispersione.
Curve di dispersione rappresentative di un isolante (a sinistra) e di un tessuto umano (a destra). Sono riportate le grandezze della componente reale e immaginaria della permittività relativa.
Oltre a queste perdite dipendenti dalla frequenza, esistono anche perdite elettriche in un campo elettrico statico, quantificate dalla conduttività elettrica DC, \sigma_{DC}. Tutti i materiali hanno una certa conduttività in corrente continua, ma può essere molto, molto piccola. Si tratta di un meccanismo di perdita separato dalla perdita dispersiva. Può essere conveniente esprimere tutte le perdite del materiale, indipendentemente dal meccanismo, attraverso la conduttività totale: \sigma_{tot} =\sigma_{DC} + 2\pi f \epsilon_0\epsilon_r^{“}e questo è riportato di seguito per gli stessi due materiali. È importante notare, tuttavia, che la conduttività in funzione della frequenza può anche essere presentata senza la componente DC come \sigma(f) = 2\pi f \epsilon_0\epsilon_r^{“} con \sigma_{DC} riportati separatamente.
Le perdite degli stessi due materiali in termini di conduttività elettrica totale, con la conduttività CC presentata come contributo alla perdita dispersiva.
Sebbene le proprietà dei materiali siano state determinate sperimentalmente, non vogliamo utilizzare direttamente i dati sperimentali, poiché essi presentano una certa incertezza e non soddisfano le relazioni di Kramers-Kronig, portando così a un modello non causale. Invece, adattiamo ai dati una funzione che soddisfa già le relazioni di Kramers-Kronig e utilizziamo i coefficienti di questa funzione adattata per descrivere il comportamento del materiale. Attualmente, il software supporta la funzione Multipolo di Debye che prende come input un numero qualsiasi, Ndi poli, dove ogni polo, mha un tempo di rilassamento, \tau_me i contributi di permittività relativa, \Delta \epsilon_r_me da questi definisce la permittività a valore complesso come:
\epsilon_r = \epsilon_infty + \displaystyle {\sum_{m=1}^N}\frac{Delta \epsilon_{rm}}{1+i\omega \tau_m}
dove \epsilon_infty si basa sul limite a bassa frequenza, \epsilon_infty \rightarrow \epsilon_{rS}-\Sigma \Delta \epsilon_r_m, ovvero il limite ad alta frequenza, \epsilon_infty \rightarrow \epsilon_{rS}. Inoltre, i tempi di rilassamento possono essere facoltativamente spostati a causa di una variazione di temperatura utilizzando uno qualsiasi dei seguenti parametri Vogel-Fulcher, Arrhenius, Williams-Landel-Ferry, o Strumento-Narayanaswamy-Moyniha funzioni di spostamento, o anche una funzione di spostamento definita dall’utente.
Se invece si dispone di dati sperimentali per le componenti reali e immaginarie della permittività e si vuole adattare a questi un modello di Debye, è possibile farlo con il comando Adattamento a frazione parziale funzionalità in COMSOL® versione 6.2. Per una guida all’uso di questa funzionalità, consultare l’articolo del Centro di apprendimento “Adattamento del modello di dispersione di Debye ai dati sperimentali”.
Utilizzo dell’interfaccia Correnti elettriche
Includere la dispersione in un Correnti elettriche Il modello richiede solo pochi passaggi. In primo luogo, si deve applicare un Conservazione della corrente è necessario aggiungere una caratteristica di dominio e applicarla ai domini pertinenti. All’interno di questa caratteristica, il Tipo di materiale deve essere impostato su Solido. Questo può essere ancora utilizzato per modellare un fluido, sotto l’ipotesi che il fluido non si deformi.
La finestra Conservazione attuale caratteristica, in cui il Dispersione è possibile selezionare il modello dielettrico.
Dopo aver modificato il modello Modello dielettrico opzione per Dispersione, apparirà un’ulteriore sottofattura. All’interno di questa caratteristica, i rami della Multipolo di Debye e il comportamento limite, come mostrato nella schermata seguente. In alternativa all’inserimento dei poli o dei rami, è anche possibile specificare i dati di rilassamento tramite il comando Tangente di perdita costante che prende in input la tangente di perdita, la frequenza centrale e la larghezza di banda. Da questi input, il software determina automaticamente il numero di poli, i tempi di rilassamento e i contributi di permittività relativa. È anche possibile utilizzare il modello più semplice Debye che ha un unico polo. Gli effetti termici che causano uno spostamento dei tempi di rilassamento possono essere attivati facoltativamente con l’opzione Effetti termici impostazioni.
La finestra Dispersione dove le diramazioni della Multipolo di Debye e viene specificato il comportamento limite.
Analisi dei risultati
Possiamo osservare come la dispersione influisce sulla risposta di un sistema semplice, come un condensatore a piastre parallele, operando nel dominio della frequenza e provando i nostri due diversi materiali inseriti all’interno. I grafici seguenti mostrano come le componenti reali e immaginarie dell’impedenza variano con la frequenza.
Impedenza di un condensatore a piastre parallele con all’interno un campione di isolante (a sinistra) e di tessuto (a destra). Si noti che è tracciata la componente immaginaria negativa dell’impedenza.
Possiamo utilizzare lo stesso modello per esaminare i risultati di un’eccitazione nel dominio del tempo dello stesso sistema. In questo caso, ci occuperemo esclusivamente del materiale del tessuto campione, poiché la variazione della risposta in frequenza è più drammatica. L’impostazione del materiale dispersivo è la stessa, ma vale la pena di esaminare i vari modi di eccitare un sistema di questo tipo. Si inizia eccitando il sistema con un passo smussato nella corrente applicata, con una rampa da 0-1A in 10 ns, e si calcola la risposta in 100 µs tracciando la tensione rilevata al terminale (vedi figura sotto). I risultati sono tracciati nel tempo e in scala logaritmica.
La risposta transitoria del tessuto campione con una corrente imposta nel tempo.
È interessante confrontare questi risultati con un modello eccitato da un segnale di tensione a gradini altrettanto regolare che si propaga lungo una linea di trasmissione. Le figure seguenti mostrano la risposta in termini di corrente e tensione misurate. Si noti che il segnale di tensione qui tracciato è la somma del segnale di tensione a gradino lisciato incidente e del segnale riflesso dalla struttura e dal materiale. Questo segnale totale presenta un comportamento variabile nel tempo a causa della dispersione del materiale.
La risposta transitoria del tessuto campione eccitato tramite una linea di trasmissione, con un segnale di tensione a gradini.
Osservazioni conclusive
Modellazione della dispersione elettrica all’interno del Correnti elettriche è ora possibile e facile da configurare. Questo modello di materiale fornisce un’immagine più accurata della vera risposta elettrica e delle perdite nei modelli del dominio della frequenza e del tempo. Questa funzionalità è utile per la modellazione di molti materiali.
Vale la pena di notare che la modellazione della dispersione elettrica è possibile anche tramite la funzione Elettrostatica e lo è dalla versione 6.0, in cui è destinato principalmente alla modellazione di materiali piezoelettrici con perdite. Inoltre, per la modellazione a frequenze molto più elevate, il modulo RF e il modulo Wave Optics includono altri modelli di dispersione.