In qualsiasi regione in cui la vorticità non è uguale a zero, è possibile stabilire una linea del vortice come una curva spaziale che corre parallela al vettore vorticità. Questo è simile a come una linea di flusso si allinea con il vettore velocità. Di conseguenza, all’interno del campo di vorticità, una linea di vortice assomiglia a una linea di flusso all’interno del campo di velocità. Così come abbiamo ampliato il concetto di linea di flusso per includere un tubo di flusso, allo stesso modo possiamo ampliare il concetto di linea di vortice per includere un tubo di vortice.Il flusso di vorticità attraverso il confine di un tubo a vortice è intrinsecamente nullo, come da definizione. Inoltre, la divergenza dell’arricciatura di un vettore, in particolare la velocità (la cui arricciatura rappresenta la vorticità), è zero secondo l’identità vettoriale. Di conseguenza, il flusso rimane costante in qualsiasi sezione trasversale del tubo, indipendentemente dalla sua posizione lungo la lunghezza.La costanza del flusso di vorticità all’interno di un tubo vortice regola le alterazioni della grandezza della vorticità che devono accompagnare l’allungamento del vortice. Quando l’area della sezione trasversale di un tubo vortice diminuisce, sia nel tempo che lungo la sua lunghezza, la forza della vorticità (la grandezza del vettore vorticità) deve intensificarsi. Nel caso di un segmento del tubo a vortice contenente una quantità fissa di fluido, una riduzione dell’area trasversale richiede in genere un aumento della lunghezza, o un allungamento. Questo allungamento è particolarmente necessario se la densità del fluido rimane costante, come esploreremo più avanti in relazione alla conservazione della massa. Di conseguenza, l’allungamento di un tubo a vortice generalmente aumenta la grandezza della vorticità locale.La costanza del flusso di vorticità in un tubo vortice impone la necessità di cambiamenti nella grandezza della vorticità quando si verifica l’allungamento del vortice. Quando l’area della sezione trasversale di un tubo a vortice diminuisce, sia nel tempo che lungo la sua lunghezza, l’intensità della vorticità (la grandezza del vettore vorticità) deve aumentare. Per adattarsi a un’area trasversale ridotta all’interno di una quantità specifica di fluido, in genere è necessario un aumento della lunghezza o un allungamento.

Un filamento di vortice è un tubo di vortice sottile con una dimensione massima estremamente ridotta nella sua sezione trasversale. Anche l’area della sezione trasversale di un filamento di vortice è infinitamente piccola, ma si presume che vari lungo la lunghezza del filamento, consentendogli di soddisfare i criteri di un tubo di vortice. Nel caso di un filamento di vortice, il flusso di vorticità attraverso una sezione trasversale è uguale al prodotto della grandezza della vorticità e dell’area trasversale, nota come intensità del filamento. È importante notare che questa definizione di intensità, come flusso di vorticità attraverso un’area infinitesimale, differisce da altri concetti familiari di intensità, come l’intensità di un raggio di luce, che è definita come il flusso di energia per unità di superficie. Il secondo teorema di Helmholtz afferma che l’intensità di un filamento di vortice rimane costante lungo la sua lunghezza. Questa conservazione dell’intensità implica che un filamento di vortice non può terminare all’interno del dominio del fluido, ma deve formare un anello chiuso (anello di vortice) o terminare al confine del dominio.

A seconda delle caratteristiche del confine, saranno imposte delle restrizioni sui possibili modi in cui i filamenti di vortice o le linee di vortice possono terminare lì. Esaminiamo prima lo scenario unico di un filamento di vortice individuale che è racchiuso da un flusso irrazionale. Nel caso in cui il flusso rimanga costante e il confine rappresenti un’interfaccia attraverso la quale il fluido non può passare, il filamento di vortice può intersecare il confine solo in modo perpendicolare.
Questo requisito deriva dalla necessità di avere una configurazione del flusso prevalentemente circolare in prossimità del filamento, all’interno di piani che sono perpendicolari al filamento stesso. Qualsiasi deviazione da questo orientamento normale contraddirebbe la condizione di assenza di flusso attraverso il confine.
Inoltre, se il confine è una superficie solida fissa soggetta a una condizione di non scivolamento, le componenti di velocità all’interno dei piani perpendicolari al filamento devono diminuire sulla superficie, mentre la grandezza della vorticità deve avvicinarsi a zero. Di conseguenza, un filamento di vortice isolato non è in grado di terminare su una superficie solida caratterizzata da una condizione di non scivolamento.Nel caso di vorticità distribuita, le linee dei vortici possono intersecare un confine senza flusso con slittamento, e l’intersezione potrebbe non essere nella direzione normale. Al contrario, su una superficie stazionaria senza slittamento, la situazione è più limitata. Poiché la velocità tangenziale è zero sulla superficie, anche la componente di vorticità normale alla superficie deve essere zero su tutta la superficie. Pertanto, se la grandezza della vorticità è diversa da zero, le linee dei vortici devono essere tangenti alla superficie. Questo principio è generalmente valido nel flusso viscoso intorno a un oggetto stazionario, ad eccezione di punti singolari isolati di separazione o di attacco in cui la grandezza della vorticità sulla superficie è zero. In questi casi, una linea di vortice può intersecare normalmente la superficie, ma la componente normale della vorticità deve comunque avvicinarsi a zero nel punto di intersezione. Di conseguenza, le linee del vortice possono intersecare una superficie senza scivolamento solo in punti singolari isolati. È un’idea errata comune che le linee di vortice non possano intersecare una superficie di non scivolamento, trascurando le eccezioni di cui sopra.È evidente che quando i vortici si avvicinano a una superficie solida con condizioni di assenza di scivolamento, tranne che in un singolo punto isolato, le linee dei vortici sono costrette a cambiare direzione per evitare l’intersezione con la superficie. Questo reindirizzamento spesso fa sì che i vortici contribuiscano alla vorticità all’interno di uno strato limite viscoso formato sulla superficie.1. Esploriamo ora i costrutti teorici che sono stati ideati per le rappresentazioni idealizzate dei flussi caratterizzati da vorticità altamente concentrata. La presenza di vorticità concentrata in regioni specifiche gioca un ruolo cruciale nell’analisi di alcuni flussi che verranno discussi in seguito. Per esempio, nel Capitolo 8, approfondiremo i modelli di vorticità osservati nella scia dietro un’ala di sollevamento, dove la vorticità esiste inizialmente in forma concentrata all’interno di un sottile strato di taglio, per poi passare a due vortici distinti, più o meno asimmetrici, tutti avvolti da un flusso quasi irrazionale. 2. Nei modelli teorici di questi fenomeni di flusso, queste strutture vorticose sono spesso semplificate come concentrazioni matematicamente sottili, con gli strati di taglio concettualizzati come fogli di vortici e i vortici come vortici di linea. Nonostante la vorticità sia concentrata all’interno di regioni di area trasversale pari a zero, queste entità idealizzate presentano flussi di vorticità finiti. Di conseguenza, la distribuzione della vorticità nella posizione del foglio o della linea deve essere singolare o infinita. 3. Quando si tratta di un foglio di vortice, il processo comporta tipicamente l’integrazione su una larghezza finita del foglio per determinare un flusso di vorticità finito, anche se l’area integrata rimane zero a causa della natura infinitesimamente sottile del foglio. D’altra parte, per un vortice lineare, una singola integrazione attraverso la linea (essenzialmente un punto) è adeguata per calcolare un flusso finito. Sebbene esista un quadro matematico formale che fornisce un trattamento rigoroso di questi concetti, un’esplorazione dettagliata di questa teoria non è necessaria per una comprensione completa dei principi sottostanti.

Il vortice di linea e il filamento di vortice, sebbene possano sembrare simili a prima vista, presentano delle distinzioni significative. Innanzitutto, il vortice lineare ha un’area trasversale pari a zero, mentre il filamento ha un’area trasversale infinitamente piccola. Inoltre, il flusso di vorticità di un vortice lineare è finito, mentre quello di un filamento è infinitesimale. È importante evitare di confondere un vortice lineare, che rappresenta una distribuzione singolare della vorticità, con una linea di vorticità, che è semplicemente parallela al vettore vorticità e si trova tipicamente in campi in cui la vorticità è distribuita in modo continuo.Un vortice puntiforme, noto anche come vortice linea in un flusso planare 2D, è caratterizzato da una linea retta che si estende all’infinito in entrambe le direzioni perpendicolari al piano 2D. Questa configurazione dà l’impressione di un singolo punto all’interno del piano 2D. Il vortice rettilineo è una delle singolarità fondamentali che possono essere utilizzate come componente fondamentale nella costruzione delle soluzioni della teoria del flusso potenziale, come elaborato nella Sezione 3.10. Tuttavia, nei flussi più complessi, il vortice rettilineo può essere utilizzato come componente fondamentale nella costruzione delle soluzioni della teoria del flusso potenziale. Tuttavia, nei flussi più complessi, il vortice lineare può presentare una curvatura, che rappresenta una sfida unica. In qualsiasi punto di un vortice lineare curvo, dove la curvatura non è zero, la velocità del fluido perpendicolare al vortice diventa infinita. Di conseguenza, determinare una velocità realistica alla quale la linea del vortice sarà trasportata dal flusso diventa impossibile. Nei flussi reali, la vorticità è distribuita in modo continuo e possiede una grandezza finita, eliminando così il verificarsi di velocità infinite.
Associare il campo di velocità con le concentrazioni di vorticità
Il concetto di vorticità altamente concentrata viene spesso semplificato come un foglio di vortice o un vortice lineare. Utilizzando il teorema di Stokes, possiamo ora analizzare le distribuzioni di velocità nelle immediate vicinanze che devono corrispondere a queste distribuzioni di vorticità idealizzate.

La figura precedente, etichettata come (a), illustra un foglio di vortici in un flusso 2D. Applicando il teorema di Stokes a un contorno chiuso che racchiude una breve sezione dello strato, diventa evidente che c’è un salto nella grandezza della velocità attraverso lo strato, che è uguale alla forza di vorticità locale o alla vorticità per unità di distanza lungo lo strato nella direzione perpendicolare al vettore vorticità. In questo particolare caso 2D, il vettore vorticità è perpendicolare al piano del foglio, e la distanza lungo il foglio è misurata nella direzione del flusso. Il flusso fisico associato a questo foglio di vortici idealizzato è uno strato di taglio in cui il salto di velocità è distribuito su uno spessore finito, come illustrato nella figura etichettata come (b).Nel caso di un flusso 3D, il salto di velocità attraverso un foglio di vortici, in senso vettoriale, deve comunque essere perpendicolare al vettore vorticità. In aerodinamica, è comune incontrare un foglio senza salto di velocità, ma solo di direzione. In questi casi, il salto nel vettore velocità è perpendicolare al vettore vorticità, che è parallelo alla direzione della media dei vettori velocità sui due lati del foglio, come illustrato nella figura etichettata come (c). Si può dimostrare che se il vettore vorticità non fosse parallelo alla media dei due vettori velocità, si dovrebbe verificare un salto nella grandezza della velocità.I fogli di vortici simili a quello rappresentato nella figura etichettata come (c) sono spesso modellati nella teoria del flusso potenziale 3D. È evidente dalla definizione del potenziale di velocità che il salto nel vettore velocità richiede un salto anche nel potenziale di velocità.Se uno strato di taglio fisico è effettivamente sottile, il che significa che i cambiamenti di flusso attraverso lo strato avvengono molto più velocemente rispetto ai cambiamenti in altre direzioni, il salto di velocità sarà approssimativamente uguale in grandezza e perpendicolare all’integrale della vorticità attraverso lo strato.
L’induzione di velocità da parte della vorticità è una fallacia?
Ogni studente di ingegneria incontra inevitabilmente la legge di Biot-Savart durante i suoi studi universitari, sia che si tratti di meccanica dei fluidi o di elettromagnetismo classico. Questa legge suggerisce che la comprensione dell’arricciatura di un campo vettoriale in un punto specifico fornisce approfondimenti sul comportamento del campo vettoriale in un punto diverso.

Nonostante il suo fascino iniziale, il concetto può essere ingannevole, in quanto spesso genera ambiguità sulla relazione tra causa ed effetto. Inoltre, la possibilità di convertire le equazioni di Navier-Stokes dalla formulazione della velocità a quella della vorticità e l’utilizzo di modelli di flusso potenziale per introdurre ostacoli nel flusso supportano ulteriormente la convinzione diffusa che la vorticità causi la velocità, come suggerito dal principio di Biot-Savart.

La fallacia sta qui. In assenza di forze gravitazionali o elettromagnetiche, non c’è azione a distanza nei flussi fluidi ordinari. Esprimere le equazioni in forme diverse e fare riferimento alla legge di Bio-Savart come una relazione di calcolo tra un campo vettoriale e la sua curvatura non implica che un vortice nel punto A possa indurre una velocità in un punto distante B. Anche se è vero che una relazione matematica come la legge di Biot-Savart ci permette di dedurre dettagli quantitativi e qualitativi sul campo di velocità in un punto distante, nella meccanica dei fluidi non descrive accuratamente la fisica. Pertanto, la relazione diretta di causa ed effetto è un po’ fuorviante in questo contesto rispetto alla sua controparte nell’elettromagnetismo classico.La legge di Biot-Savart si rivela utile per i calcoli quantitativi. Tuttavia, il concetto qualitativo secondo cui la comprensione della vorticità in un punto specifico ci permette di dedurre informazioni sulla velocità in un altro punto ha il suo valore. Questo concetto è uno degli strumenti più influenti per la comprensione dei campi di flusso. Tuttavia, nonostante la sua potenza, può anche essere un’arma a doppio taglio, in quanto spesso genera confusione quando si tratta di determinare la causa e l’effetto.Il problema nasce dal fatto che la vorticità è considerata un ‘input’, mentre la velocità è vista come un ‘output’, il che porta alla pratica comune di riferirsi alla velocità dedotta dalla vorticità come velocità indotta. Ciò può facilmente indurre a credere che la vorticità in qualche modo “causi” la velocità che “determina”. Tuttavia, questa linea di pensiero non è corretta. In assenza di forze corporee gravitazionali o elettromagnetiche significative, non c’è azione a distanza nei flussi fluidi regolari. Le forze significative vengono trasmesse solo attraverso il contatto diretto tra particelle di fluido vicine.
Pertanto, un vortice nel punto A non può “causare” direttamente una velocità in un punto B distante, e termini come “causato da”, “indotto” e persino “dovuto a” travisano la fisica coinvolta. È fondamentale ricordare che Biot-Savart è semplicemente una relazione matematica tra un campo vettoriale e la sua curvatura, e nella meccanica dei fluidi non indica una relazione fisica diretta di causa-effetto. Questo punto è di estrema importanza, ma non è stato sufficientemente sottolineato nella letteratura. È interessante esplorare le prospettive di altri autori su questo argomento. Gli aerodinamisti hanno contribuito alla confusione usando liberamente termini come “velocità indotta” e “induzione”. Questi termini provengono da un altro campo, l’elettromagnetismo classico, dove si applica la legge di Biot-Savart e si afferma che il campo magnetico è ‘indotto’ dalla corrente elettrica. Nell’elettromagnetismo, questa terminologia è adatta in quanto si ritiene che si verifichi una vera e propria azione a distanza, rendendo il termine ‘induzione’ fisicamente adatto. Tuttavia, nella meccanica dei fluidi, non esiste una connessione causale diretta. Comprendiamo che la vorticità viene generata, trasportata e diffusa, il che spiega perché esiste la vorticità nei nostri campi di flusso: serve più come indicazione del modello generale di flusso che come causa.
Per chiarire la presenza di un modello di flusso, è necessario fare riferimento alla fisica effettiva coinvolta, in particolare all’equilibrio delle forze all’interno degli elementi fluidi in una determinata posizione.