Forza radiale del rotolo avvolto su anima

meccanicamg

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#1
Eccoci con un quesito al quale non ho ancora trovato una trattazione matematica.

Ho un rotolo avvolto con un tiro noto. Ho spessore e larghezza noti. Materiale con modulo elastico noto. Diametro interno ed esterno rotolo.
Ho bisogno di determinare la forza radiale che sviluppa il rotolo sull'anima interna per effetto della tensione di avvolgimento.

Ho provato ad usare la teoria del tubo in pressione ma ottengo risultati con ordini di grandezza troppo superiori a quello che mi aspetto nella pratica.

Avete qualche idea smart per calcolare il fenomeno?
Grazie
 

PiE81

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#2
Immagino che la trasmissione della forza all'anima avviene per l'attrito tra la superficie cilindrica dell'anima e la prima spirale del rotolo.
Credo che in tal caso si possa usare la teoria che si usa per il dimensionamento delle trasmissioni a cinghia o la formula di Eytelwein/Capstan.
 

bip

Utente Junior
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#3
Spannometricamente mi verrebbe da pensare che la tensione non si propaga "troppo" all' interno degli strati, nel senso che se avvolgo per buona parte del rotolo tenendo la parte libera non molto tesa, e stringo alla fine, per l' attrito tra gli strati non riuscirò a "stringere" come se avessi tirato forte fin dall'inizio.

Se tipo consideri la tensione sul nastro libero come distribuita sulla metà della circonferenza di avvolgimento, un po' tipo la verifica a rifollamento della sede di un perno, ma al contrario, vengono risultati verosimili o valori assurdi?
Che è un po' la stessa cosa della distribuzione delle pressioni di una corda avvolta su di una carrucola..


Se non sbaglio in passato c'era una discussione simile..
 

meccanicamg

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#4
L'inizio del nastro è saldato al palo che gira. Poi chiaramente l'attrito tra una spia e l'altra esiste che riduce la trazione nel nastro.
Purtroppo facendo il calcolo con il sistema della camicia di un cilindro ottengo numeri 100/1000 e oltre rispetto alla realtà, quindi devo fare considerazioni differenti.
So che l'argomento è critico.
 

meccanicamg

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#8
Proviamo con l'approccio della fascetta dell'allegato e proveremo a vedere se ripetuto per ogni giro di materiale otteniamo qualcosa di sensato.
Lo schema iniziale è così e conoscendo T che impongono io come tiro di avvolgimento mi prefiggo di ottenere F.
IMG_20190504_155947.jpg
che per la fascetta singola vale:
IMG_20190504_160041.jpg
Quindi ipotizzando di tirare un foglio spessore 0,5mm largo 1500mm con tiro specifico 20MPa ottengo un tiro T=t•b•tsp=15kN e quindi una forza radiale F=2•3,15•T=94,2kN.
Bene....ma ora il giro successivo cosa fa? Aggiunge altri 94,2kN?...10 giri sono 940kN? Non credo.
 

Allegati

cacciatorino

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#9
Secondo me ad ogni giro devi sottrarre l'attrito al tiro tangenziale
 

meccanicamg

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#10
Quindi forza di attrito al giro Fa=fa•T=0,18•15kN=2,7kN che sottratti al tiro T=15kN fa un tiro utile Tu=T-Fa=12,3kN.

E riapplicando la formula di prima ottengo F=2•3,14•Tu=77,2kN per ogni giro avvolto.
Essendo che il coil radialmente è pari a 500mm e lo spessore del nastro 0,5mm ho 1000 avvolgimenti.

Facciamo che la forza totale radiale 77,2•1000=77200kN=7700ton.
Mi sembra veramente una cosa elevatissima eppure sul nucleo diametro 508mm per larghezza 1500mm vuol dire un'area di circa 2400000mm² e quindi ho una pressione specifica di compressione di 32MPa circa.

Ma è corretto il ragionamento?
 

PaoloColombani

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#11
Io ragionando sulle pressioni per un piccolo angolo su un singolo avvolgimento (senza attrito) ho ricavato che: σr = 2 σt sen(1/2r) dove σr è la pressione radiale specifica (unità di superficie) mentre σt è pressione tangenziale lineare (forza di trazione del nastro / lato del nastro).

Edit: penso che all'avvolgimento successivo, oltre l'attrito, sarebbe da sottrarre la resistenza dell'avvolgimento sottostante, e così via...
 
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cacciatorino

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#12
Io ragionando sulle pressioni per un piccolo angolo su un singolo avvolgimento (senza attrito) ho ricavato che: σr = 2 σt sen(1/2r) dove σr è la pressione radiale specifica (unità di superficie) mentre σt è pressione tangenziale lineare (forza di trazione del nastro / lato del nastro).

Edit: penso che all'avvolgimento successivo, oltre l'attrito, sarebbe da sottrarre la resistenza dell'avvolgimento sottostante, e così via...
Si intendevo questo ma scrivendo dal cell ho peccato di sintesi
 

meccanicamg

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#13
Si intendevo questo ma scrivendo dal cell ho peccato di sintesi
Però non ci vedo il termine dell'attrito in questa formula tant'è che è scritto che non c'è attrito nella formula.

Credo che mi state consigliando di usare le formule che si usano sulle camicie dei pistoni.
IMG_20190504_204010.jpg
Se conosco il tiro e l'area ho il tiro specifico che potrebbe essere sigmat delle mie formule e ricavare p. E mi viene lo stesso risultato.
Ho capito giusto?
 
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PaoloColombani

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#14
Credo che mi state consigliando di usare le formule che si usano sulle camicie dei pistoni.
Volendo rispolverare la letteratura, ci sarebbe quella inerente ai cilindri cerchiati (equazioni di Lamé). L'impostazione del problema è simile si tratta solo di riscrivere per il caso specifico.

E mi viene lo stesso risultato.
Ho capito giusto?
Quale stesso risultato? Mostrare
 

paulpaul

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#15
Io direi che l'attrito lo possiamo lasciare stare, almeno inizialmente: non è questo che genera un'azione radiale sul tamburo, almeno non direttamente. La forza di attrito (che ovviamente è tangenziale) è dovuta all'eventuale strisciamento del nastro sul tamburo (se non vi è scorrimento non vi è attrito), e si calcola ovviamente moltiplicando la reazione radiale del nastro sul tamburo (che è quanto si sta cercando) per il coefficiente di attrito. Questo strisciamento (locale) nelle cinghie è necessario per trasmettere il moto, ed è dovuto alla deformabilità della stessa (ovviamente non parliamo di strisciamenti massivi, altrimenti la cinghia slitterebbe): trovandoci qui in presenza di un materiale con un modulo elastico molto più alto di quello di una cinghia e fissato al tamburo, mi sentirei di escludere strisciamenti relativi tra nastro e tamburo, almeno in prima approssimazione.

Credo che tutto si possa risolvere scrivendo un equilibrio alla traslazione lungo un raggio di un elemento di nastro di lunghezza infinitesima, cercando di calcolarsi l'azione del nastro sul tamburo (Rt): seguendo il classico esercizio di meccanica applicata sulle cinghie (adesso non riesco a scrivere la dimostrazione, dopo ci posso provare) risulterebbe un'espressione del tipo (trascurando la forza centrifuga - ipotesi conservativa - ed il peso del nastro):

Rt = 2T/D = 2*15/0,5 = 60 kN/m

Si tratta di un'espressione analoga a quella delle cinghie, sotto le stesse ipotesi.

Considerando un giro (C = pi*D = 3,14*0,5 = 1,6 m) abbiamo che la forza totale è Rt, tot = Rt*C = 60*1,6 = 96 kN. Considerando l'area superficiale del tamburo pari a A = pi*D*C = 3,14*0,5*1,5 = 2,4 m2, mi viene una pressione di contatto di p = 96000/2,4E6 = 0,04 MPa
Con 1000 avvolgimenti avrei 40 MPa.
Il peso del nastro può essere messo dentro questo equilibrio, ma si complica il calcolo: dopo se riesco provo a considerarlo, ma intanto fate le vostre considerazioni...
 

meccanicamg

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#16
Per ora con tutte le vostre considerazioni ottengo gli stessi risultati riassunti da paulpaul.
Senza considerare l'attrito ottengo la pressione specifica identica.

L'unica cosa che ho visto di aver sbagliato è la considerazione dell'attrito che ho calcolato come tiro per coefficiente d'attrito ma invece è la componente radiale calcolata che deve essere moltiplicata per il coefficiente d'attrito, quindi il calcolo deve essere prima fatto senza attrito e con il valore trovato di forza radiale a moltiplicata per il coefficiente d'attrito stesso e ricavare il tiro levato dall'attrito.
È anche vero che se ad ogni giro non c'è strisciamento relativo si può affermare che la componente attrito non esiste.
 

zeigs

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#17
ogni giro del nastro non può essere visto come materiale che si aggiunge all'anima per sopportare lo sforzo radiale del giro successivo?
 

meccanicamg

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#18
ogni giro del nastro non può essere visto come materiale che si aggiunge all'anima per sopportare lo sforzo radiale del giro successivo?
Una sorta di equilibrio c'è ma non può essere totale, altrimenti non si spiegherebbe il collassamento del centro coil quando viene appoggiato per terra e i parametri di tiro sull'abbigliamento sono errati.
Inoltre fisicamente si crea un effetto elastico che stringe e succede in alcuni casi particolari che non puoi sfilare il rotolo dal mandrino.