Modello computazionale fluidodinamico di due condotte convergenti

Buongiorno.

Sono un ingegnere meccanico (laurea nel 1999) che lavora nel settore impiantistico (energia) e che saltuariamente si trova ad aver a che fare con la necessità di costruire modelli di calcolo moderatamente complessi, relativi a sistemi termo-fluidodinamici (reti condotte, valvole, scambiatori di calore, ...); per risolverli utilizzo Excel ed il codice VBA (Visual Basic). E' la prima volta che mi rivolgo a questo forum e spero che l'argomento che propongo sia attinente.

Ho bisogno di fare il modello computazionale termofluidodinamico di due condotti d’aria che convergono in un unico condotto (raccordo a Y). Poiché tale sistema va inserito a sua volta in un modello più grande con condizioni di input variabili (portate, pressioni, ecc.), mi occorre costruire un modello costituito dalle equazioni di Navier Stokes, da risolvere poi in Excel, utilizzando un codice VBA che risolve i sistemi di equazioni lineari e non, basato sul solutore di Gauss-Jordan (il codice è ampiamente collaudato e non presenta problemi).

Nel file allegato trovate il set di equazioni che sto usando, la lista delle variabili e quella dei parametri (costanti). Se il modello riguardasse un sistema con un solo ingresso ed una sola uscita, tale set di equazioni sarebbe sufficiente, ma in questo caso le variabili sono 10 e le equazioni sono soltanto 9; manca una equazione perché il sistema sia risolvibile e fisicamente consistente.

La domanda che vorrei porre è proprio questa: qual è la decima equazione?

Il mio primo pensiero è stato che la decima equazione non esiste e che il sistema è mal posto, cioè che devo eliminare una delle variabili, ponendola costante e portando il numero di variabili a 9. Tuttavia, pensando al sistema reale che questo modello deve esprimere, mi pare fisicamente consistente avere 10 variabili. Il sistema è infatti costituito da due condotti d’aria che mandano due portate note, m1 ed m2, a temperature note, in un condotto comune la cui pressione statica in uscita è pure nota (l’atmosfera).

Un sistema del genere è necessariamente espresso dalle 10 variabili della lista e questo mi fa pensare (ma è un’intuizione) che debba esservi una decima equazione che esprime una correlazione fisica (tipica dei flussi convergenti) che non conosco o che mi sfugge.

Qualche aiuto?

Grazie.

Io lo risolverei con Cosmos Floworks o similare assieme a tutto il resto della tubazione.
In alternativa userei i programmi dedicati per i calcoli impiantistici.
Anche io nel 2007 facevo quei lavori ma alla fine è l'approccio insufficiente e anche io facevo parecchio fatica a trovare i parametri per il calcolo a mano....e poi non è detto che venga giusto.
Certamente che il tempo di convergenza di un CFD alle volte è nettamente superiore della composizione di qualche excel ben fatto.

È molto probabile che la decima equazione mancante sia la conservazione dell'energia totale (o entalpia totale) attraverso la giunzione a Y.
In un modello termofluidodinamico 1D (monodimensionale) per un raccordo a Y con due ingressi (condotti 1 e 2) e un'uscita (condotto 3), il sistema è tipicamente descritto dalle equazioni di conservazione (Navier-Stokes nel loro equivalente 1D) applicate:
* A ciascun condotto (1, 2, 3):
* Massa (Equazione di continuità)
* Quantità di moto
* Energia
* Alla giunzione (raccordo a Y): È necessario aggiungere delle equazioni di chiusura/giunzione che leghino le variabili dei condotti di ingresso (1 e 2) con quello di uscita (3). Queste equazioni sono:
* Conservazione della massa globale:
[math]\dot{m}_1 + \dot{m}_2 = \dot{m}_3[/math] * Conservazione della quantità di moto globale (spesso approssimata o trascurata in modelli 1D semplici, ma fondamentale in modelli più complessi).
* Conservazione dell'energia globale:
[math] \dot{m}_1 h_{0,1} + \dot{m}_2 h_{0,2} = \dot{m}_3 h_{0,3}[/math]
(dove [math]h_0 [/math]è l'entalpia totale specifica,
[math] \dot{m}[/math]è la portata massica).

La Decima Equazione
Dato che sta già usando un set di 9 equazioni per un sistema 1D (probabilmente le 3 conservazioni per ogni condotto, più la conservazione della massa globale alla giunzione), l'equazione più verosimile ad essere omessa e necessaria per chiudere il sistema è l'equazione di conservazione dell'energia (o entalpia totale) attraverso la giunzione:
*
[math]\dot{m}_i[/math]: Portata massica nel condotto i (variabile, ma i valori di input a monte [math]\dot{m}_1 e \dot{m}_2[/math] sono noti, quindib[math] \dot{m}_3[/math]è data dalla conservazione della massa globale, ma il valore della variabile[math] \dot{m}_3[/math]deve essere definito).
*[math]h_{0,i}[/math]: Entalpia totale specifica (o energia totale specifica) nel condotto i.
* L'entalpia totale h_0 è data da [math]h_0 = h + \frac{v^2}{2} + gz[/math](entalpia statica + energia cinetica + energia potenziale).
* Per un gas ideale, l'entalpia statica è [math]h = c_p T[/math] * In termini di variabili del suo modello, questo si tradurrebbe in un'equazione che mette in relazione le temperature totali (o statiche) e le velocità (o portate) nei tre condotti.
Questa equazione è essenziale perché il problema coinvolge l'aria a temperature note in ingresso, introducendo quindi la necessità di bilanciare anche il contenuto energetico oltre alla massa e alla quantità di moto.

Riepilogo delle Equazioni di Giunzione (Punti di Discontinuità)
In un modello 1D, le equazioni che legano i parametri dei condotti alla giunzione sono:
* Bilancio di Massa:[math]\dot{m}_1 + \dot{m}_2 = \dot{m}_3[/math] * Bilancio di Quantità di Moto: (Spesso espresso con un coefficiente di perdita di carico)[math]p_1 A_1 + p_2 A_2 - p_3 A_3 + F_{parete} = \dot{m}_3 v_3 - \dot{m}_1 v_1 - \dot{m}_2 v_2[/math] * Bilancio di Energia (la decima equazione):
[math] \dot{m}_1 h_{0,1} + \dot{m}_2 h_{0,2} = \dot{m}_3 h_{0,3}[/math] * Relazione di Pressione: La pressione statica o totale può essere assunta uguale in tutti i rami nel punto di giunzione, o legata tramite perdite concentrate (es.[math]p_3 = p_1 - \Delta p_{1 \to 3} e p_3 = p_2 - \Delta p_{2 \to 3})[/math]Se le sue 9 equazioni sono le 3 conservazioni (M, Q, E) per ciascuno dei 3 rami, allora le equazioni di giunzione sono l'unico modo per connettere fisicamente i rami tra loro.
La decima equazione è la conservazione dell'energia alla giunzione, che stabilisce la temperatura nel condotto 3.
Questo video illustra una simulazione CFD di un raccordo a Y, che può essere utile per visualizzare il comportamento dei flussi e delle temperature in un sistema simile.

In attesa che intervenga l'IN di qualche utente che lavora nel settore, allego anch'io una risposta dell'AI basata anche sull'analisi del file Excel fornito.
Ovviamente in questi casi l'IA può a volte risultare fallace ma le indicazioni che dà possono essere utili per completare il ragionamento iniziale.
Se non altro è un'occasione per verificare l'attendibilità di una risposta data dall'IA.

Buongiorno
Ringrazio tutti per i suggerimenti che mi avete dato.
La soluzione (spero) definitiva l'ho trovata cercando ulteriormente in rete. Ho trovato un paio di articoli scientifici ed il seguente video:
che spiegano come avessi sbagliato a scrivere l'equazione di conservazione del momento per i tre flussi; tale equazione sono in realtà 2 equazioni distinte ed ecco trovata la decima equazione che mi mancava. Nel file allegato riporto le suddette equazioni del momento corrette: applicandole al mio modello, questo va a convergenza, dandomi soluzioni fisicamente consistenti.
Grazie di nuovo.

(Aggiungo che anche il documento inviatomi da TETRASTORE riportava in effetti la risposta corretta, ma visualizzarla nel video youtube qui citato mi ha aiutato a comprenderla).

frax01 ha detto:

La soluzione (spero) definitiva l'ho trovata cercando ulteriormente in rete. Ho trovato un paio di articoli scientifici ed il seguente video:

Clicca per espandere...

Il video è molto interessante e vedere l'applicazione spiegata dettagliatamente con i relativi schemi ne facilita la comprensione.
Grazie per il tuo contributo.
Buon lavoro.