Lastra alettata - ottimizzazione massa materiale

moio92

Utente poco attivo
Professione: studente universitario
Software: solidworks
Regione: lombardia
Ciao a tutti, ho un problema che non riesco a risolvere e mi serve urgentemente perchè devo consegnarlo come relazione per sostenere un esame.

" Una lastra quadrata (LxL) è raffreddata con delle alette cilindriche (materiale rame). Valutare numero di alette, diametro e lunghezza in modo che la quantità di materiale usata sia minima scambiando una certa potenza Q (a piacere) "

Allora analizzando il problema mi sono subito detto: le incognite sono tre: n, D e L
Devo minimizzare la massa delle alette, cioè: m= (n ρ π L D^2)/4 dove dovrò minimizzare solamente (n L D^2) (°°) essendo le altre grandezze costanti.
E io ho una sola equazione, cioè quella della potenza: Q=An h (Ts-T∞) + n Qaletta (°)
dove An è la superficie della lastra non alettata e la Qaletta è la potenza scambiata da un'aletta, cioè:
Q=√((h k π^2)/4) √(D^3) tanh(L/(√(k/(4 h)) √D))

Ora io pensavo di agire ponendo un certo valore di n, attraverso l'equazione (°) ricavare una dipendenza tra L e D mantenendo tutte le altre grandezze come costanti.
Inserire questa dipendenza in (°°) , attraverso la derivata trovare il valore minimo di L (o D) e poi ripetere il percorso per vari n fino a trovare il valore minimo.

Il problema è: come faccio a ricavare una dipendenza tra L e D da (°) essendo un'equazione non lineare in due incognite??
E' giusto secondo voi come procedimento?

Grazie mille del vostro aiuto,
 

paulpaul

Utente Standard
Professione: Macchinista
Software: Solid Edge, Autocad, Matlab
Regione: Parma
Ciao

alcune domande:

- Il coefficiente di convezione h presumo sia noto, corretto?
- Se non sbaglio, nell'esprimere il calore scambiato dall'aletta, hai usato la condizione di adiabaticità all'estremità dell'aletta cilindrica (nessuno scambio di calore estremità/ambiente), giusto?

Detto questo, credo ti convenga esprimere il calore scambiato in funzione del rendimento complessivo della superficie alettata (che tiene conto delle variabili quali aree, numero alette, ecc) e massimizzare quest'ultimo: se non l'hai già consultato, sull'Incropera (Fundamentals of Heat and Mass Transfer) l'argomento è molto ben trattato.
Il calore scambiato (e le efficienze, rendimenti, ecc) di un'aletta dipende da funzioni iperboliche, difficili da massimizzare tranne che per il caso - appunto - di estremità adiabatica nel quale, se ben ricordo, c'è solo tanh nell'espressione del calore quindi facilmente massimizzabile: monotona crescente, limitata a 1 per x - > inf, che già intorno a 2 vale quasi 1. Data la natura scolastica del quesito, mi sembra che tu possa realisticamente considerare analiticamente solo questo caso.

Nella pratica si usano spesso dati sperimentali, oppure si buttano su xls le formule e si ottimizza per "tentativi" cambiando i vari parametri.
 

moio92

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Ciao

alcune domande:

- Il coefficiente di convezione h presumo sia noto, corretto?
- Se non sbaglio, nell'esprimere il calore scambiato dall'aletta, hai usato la condizione di adiabaticità all'estremità dell'aletta cilindrica (nessuno scambio di calore estremità/ambiente), giusto?

Detto questo, credo ti convenga esprimere il calore scambiato in funzione del rendimento complessivo della superficie alettata (che tiene conto delle variabili quali aree, numero alette, ecc) e massimizzare quest'ultimo: se non l'hai già consultato, sull'Incropera (Fundamentals of Heat and Mass Transfer) l'argomento è molto ben trattato.
Il calore scambiato (e le efficienze, rendimenti, ecc) di un'aletta dipende da funzioni iperboliche, difficili da massimizzare tranne che per il caso - appunto - di estremità adiabatica nel quale, se ben ricordo, c'è solo tanh nell'espressione del calore quindi facilmente massimizzabile: monotona crescente, limitata a 1 per x - > inf, che già intorno a 2 vale quasi 1. Data la natura scolastica del quesito, mi sembra che tu possa realisticamente considerare analiticamente solo questo caso.

Nella pratica si usano spesso dati sperimentali, oppure si buttano su xls le formule e si ottimizza per "tentativi" cambiando i vari parametri.

Innanzitutto grazie mille della risposta :)
Per quanto riguarda le tue domande:
- Il coefficente h non è noto, ma essendomi accorto che è necessaria la sua conoscenza (anche per Ts-Tinf), ho chiesto al professore (sperando in risposta nei prossimi giorni) se questi valori devo sceglierli io oppure me li può dare lui.
-Esatto, avevo scelto il caso di estremità adiabatica.
-Quindi tu dici di prendere quest'equazione:efficenza globale.jpg
e porre il termine della tanh in modo che sia già al massimo (ponendo per esempio mL=2)? e poi massimizzare ηf? Dici che massimizzando ηf, minimizzo al tempo stesso la massa del materiale?

Grazie ancora
 

moio92

Utente poco attivo
Professione: studente universitario
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Regione: lombardia
Inaspettatamente il professore mi ha risposto subito via mail, l'h e il deltaT posso sceglierli io ponendo però valori sensati.
Io pensavo a un deltaT di circa 50° ( tra aria ambiente e uno piastra a circa 75°C)
Per quanto riguarda h pensavo di usare 1000 W/Km^2
Ho preso spunto dagli esempi di Incropera, dove però non si trova nemmeno un esempio di minimizzazione del materiale usato per le alette.
 

paulpaul

Utente Standard
Professione: Macchinista
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Regione: Parma
Ciao

direi che il deltaT e l'h li puoi scegliere come vuoi tra valori realistici, non ti spostano il problema. Sull'Incropera un problema simile non so se esista: citavo quel testo solo perché secondo me la parte sulle alette è fatta abbastanza bene.
Userei proprio la formula che hai postato, tenendo conto che l'efficienza dell'aletta è il rapporto tra il calore scambiato ed il calore massimo scambiabile se l'aletta avesse tutta la stessa temperatura della base a cui è collegata: massimizzandola, massimizzi sicuramente il calore scambiato.
Se però massimizzi tanh(mL) ponendo ad esempio mL=2 (oltre non hai grandi incrementi di efficienza) ottieni L=2/m, e poni già un limite alla lunghezza (e quindi anche al volume) dell'aletta.
Io perlomeno procederei in questo modo...
 

moio92

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Ciao

direi che il deltaT e l'h li puoi scegliere come vuoi tra valori realistici, non ti spostano il problema. Sull'Incropera un problema simile non so se esista: citavo quel testo solo perché secondo me la parte sulle alette è fatta abbastanza bene.
Userei proprio la formula che hai postato, tenendo conto che l'efficienza dell'aletta è il rapporto tra il calore scambiato ed il calore massimo scambiabile se l'aletta avesse tutta la stessa temperatura della base a cui è collegata: massimizzandola, massimizzi sicuramente il calore scambiato.
Se però massimizzi tanh(mL) ponendo ad esempio mL=2 (oltre non hai grandi incrementi di efficienza) ottieni L=2/m, e poni già un limite alla lunghezza (e quindi anche al volume) dell'aletta.
Io perlomeno procederei in questo modo...

Ti ringrazio davvero delle risposte! Mi metterò al lavoro attraverso matlab per valutare un pò la soluzione migliore, ma ormai ho la visione chiara del problema. Grazie! Se dovessi riscontrare problemi nella soluzione, scriverò ancora qua.
Un saluto
 

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