Calcolo inerzia massa in movimento

Buonasera a tutti,
Ho bisogno di una info e chiedo gentilmente il vostro parere: devo calcolare il momento d'inerzia geometrico della massa M che si muove lungo una circonferenza (linea blu) grazie alle due leve A e B entrambe dotate di massa che sono azionate da un motore posizionato nel polo C.
Le due leve sono incernierate tra di loro e la leva A viene mossa dal motore che ruota attorno al polo cerchiato in blu mentre la massa M grazie a delle guide circolari, ruota attorno ad un asse diverso dal polo C, posizionato decisamente più in basso (circa 250 mm).
Qual è l'approccio matematico per avere il momento d'inerzia del sistema rispetto al polo cerchiato in blu?

Grazie

Aggiungo che per adesso l'inerzia calcolata con SolidWorks nel polo C risulta elevata..questo perché ho intenzione di progettare partendo da una situazione reale della quale ho i dati che posso verificare tranne l'inerzia.

Maverick90 ha detto:

Aggiungo che per adesso l'inerzia calcolata con SolidWorks nel polo C risulta elevata..questo perché ho intenzione di progettare partendo da una situazione reale della quale ho i dati che posso verificare tranne l'inerzia.

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Ciao Maverik, per il calcolo dell'inerzia rispetto al polo C considera il centro di massa dei singoli corpi. Poi tramite il teorema di Huygens-Steiner (Link a wiki del teorema) riduci il tutto al Punto C. In sostanza Inerzia rispetto al polo C = Sommatoria dell'inerzia dei singoli corpi rispetto al centro di massa + l'aliquota massa per il quadrato della distanza centro di massa di ogni corpo rispetto al punto C.

In ogni caso il meccanismo che hai disegnato mi sembra a naso che debba avere un inerzia elevata. In ogni caso SW da dati esatti che puoi verificare con la formula di sopra

saluti
Luca

si, dai un'occhio anche qui
Molto semplice, devi calcolare un'integrale triplo e di volta in volta passare da un sistema di coordinate classico (cartesiano) a quello più congeniale (sferico, ellittico, cilindrico,ecc.). Eventualmente applichi il noto teorema di trasposizione.

Grazie per le risposte, però ho dei dubbi che spero di risolvere con il vostro aiuto.
In sostanza la massa M non ruota per il polo C ma per il polo blu situato più in basso.
Calcolando le inerzie con Solidworks ottengo un valore elevato e ho il sospetto che le leve che non sono in rapporto 1:1 incidano nel calcolo dell'inerzia ridotta all'asse del motore (polo C), quindi:
1) Come calcolo l'inerzia della massa M per il polo C? Se applico Huygens-Steiner dovrei applicarlo per il suo asse di rotazione che è il polo blu
2) Ammesso di calcolare l'inerzia della massa M come il punto 1, poi dovrei ridurla all'asse di rotazione del motore (polo C)..come la riduco? Il rapporto tra la lunghezza delle leve incide in questa riduzione?

Allego un testo trovato in letteratura, dove viene calcolata la forza che deve esercitare un dito durante la pressione del tasto di un pianoforte..qui si parla di rapporto di leve nel calcolo delle inerzie..

non saprei, non mi è mai capitata una situazione simile ma possiamo ragionarci.
Dovresti provare a calcolare l'inerzia di M come massa concentrata rispetto al punto di rotazione.
Poi, valuti l'inerzia dell'asta A rispetto al suo polo.
Infine valuti l'inerzia di B quando questa si trova nella posizione più "sfavorevole", cioè quando si trova alla distanza maggiore rispetto al punto di rotazione (ovvero dove il sistema si trova ruotato di 180° rispetto all'attuale configurazione).

Buongiorno,
Calcolare l'inerzia di un sistema per via analitica non è sempre banale. In questo caso è necessario sapere ricavare l'equazione dinamica alle rotazioni per un sistema discreto, nel tuo caso rispetto al polo C. Questo perchè, in generale, l'inerzia è sempre il coefficiente che moltiplica il termine di accelerazione nell'equazione dinamica (Vedi immagine). Per questo motivo, se sei in grado di scrivere l'equazione dinamica che caratterizza il sistema (Con l'approccio Newtoniano delle forze o Energetico Lagrangiano) allora saprai che l'inerzia del sistema in rotazione rispetto a C è data esattamente dal coefficiente che moltiplica l'accelerazione angolare nella tua equazione dinamica.

Nelle immagini ho riportato il classico esempio di oscillatore semplice lineare ma lo stesso vale per un sistema rotativo, a patto di sostituire spostamenti lineari con rotazioni, poi, inerzia, smorzamento ed elasticità con i rispettivi del caso.

Se ne hai bisogno non appena ho un attimo a disposizione posso provare a riportarti il calcolo del caso.

@PerSamir grazie.
Si è interessante anche per me. Questi argomenti saranno oggetto della prossima sessione d'esami (per quanto mi riguarda).

PerSamir ha detto:

Buongiorno,
Calcolare l'inerzia di un sistema per via analitica non è sempre banale. In questo caso è necessario sapere ricavare l'equazione dinamica alle rotazioni per un sistema discreto, nel tuo caso rispetto al polo C. Questo perchè, in generale, l'inerzia è sempre il coefficiente che moltiplica il termine di accelerazione nell'equazione dinamica (Vedi immagine). Per questo motivo, se sei in grado di scrivere l'equazione dinamica che caratterizza il sistema (Con l'approccio Newtoniano delle forze o Energetico Lagrangiano) allora saprai che l'inerzia del sistema in rotazione rispetto a C è data esattamente dal coefficiente che moltiplica l'accelerazione angolare nella tua equazione dinamica.

Nelle immagini ho riportato il classico esempio di oscillatore semplice lineare ma lo stesso vale per un sistema rotativo, a patto di sostituire spostamenti lineari con rotazioni, poi, inerzia, smorzamento ed elasticità con i rispettivi del caso.

Se ne hai bisogno non appena ho un attimo a disposizione posso provare a riportarti il calcolo del caso.

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Mi farebbe molto piacere, grazie..
In realtà io sono già arrivato ad una conclusione sul valore dell'inerzia, sia attraverso il CAD che per via analitica utilizzando il teorema degli assi paralleli come dai voi suggerito in precedenza; i dubbi sono nati nel momento in cui inserisco questa inerzia nel simulatore per servomotori, dato che ottengo un valore di sfruttamento termico maggiore di quello che viene misurato nella realtà.
Inoltre trovando esercizi svolti nelle dispense universitarie, tutto si calcola come detto precedentemente: inerzia baricentrica della massa M + massa M per distanza al quadrato dal polo C + Inerzia leva A per il polo C + Inerzia baricentrica leva B + Massa leva B per la distanza da C al quadrato..

Però il dubbio resta..aiuto

biz ha detto:

non saprei, non mi è mai capitata una situazione simile ma possiamo ragionarci.
Dovresti provare a calcolare l'inerzia di M come massa concentrata rispetto al punto di rotazione.
Poi, valuti l'inerzia dell'asta A rispetto al suo polo.
Infine valuti l'inerzia di B quando questa si trova nella posizione più "sfavorevole", cioè quando si trova alla distanza maggiore rispetto al punto di rotazione (ovvero dove il sistema si trova ruotato di 180° rispetto all'attuale configurazione).

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Pensa che già l'inerzia baricentrica della massa M è 0,7 kgm^2 mentre per ottenere il valore di sfruttamento termico corrispondente alla realtà non dovrebbe superare 0,1 kgm^2..

C'è qualcosa che mi sfugge, è evidente

Maverick90 ha detto:

Grazie per le risposte, però ho dei dubbi che spero di risolvere con il vostro aiuto.
In sostanza la massa M non ruota per il polo C ma per il polo blu situato più in basso.
Calcolando le inerzie con Solidworks ottengo un valore elevato e ho il sospetto che le leve che non sono in rapporto 1:1 incidano nel calcolo dell'inerzia ridotta all'asse del motore (polo C), quindi:
1) Come calcolo l'inerzia della massa M per il polo C? Se applico Huygens-Steiner dovrei applicarlo per il suo asse di rotazione che è il polo blu
2) Ammesso di calcolare l'inerzia della massa M come il punto 1, poi dovrei ridurla all'asse di rotazione del motore (polo C)..come la riduco? Il rapporto tra la lunghezza delle leve incide in questa riduzione?

Allego un testo trovato in letteratura, dove viene calcolata la forza che deve esercitare un dito durante la pressione del tasto di un pianoforte..qui si parla di rapporto di leve nel calcolo delle inerzie..

Dynamic piano action analysis

dynamic piano action analysis

pianobytes.com

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La risposta corretta l'ha già fornita PerSamir ma provo a fare chiarezza per quanto riguarda il teorema di Huygens-Steiner dato che mi sembra ci sia un po' di confusione.. questo teorema è valido solamente per un corpo rigido e non può essere utilizzato per riportare l'inerzia di un membro di un meccanismo da un punto ad un altro a meno che questo punto non appartenga al membro stesso.

Dovresti scrivere l'equazione dinamica del sistema e riportarla nella forma:
m*a + c*v + k*s = 0
A questo punto m è l'inerzia del sistema riportata al punto considerato per scriverla e sarà funzione dei rapporti di velocità al quadrato tra i vari membri e il polo considerato; naturalmente i rapporti di velocità sono a loro volta funzione della coordinata libera del sistema (in questo caso la posizione angolare del rotore del motore immagino di riportare tutto a suo asse).

Il fatto che non ti torni lo sfruttamento termico può essere dovuto alla ciclica imposta al programma, per avviare il sistema il motore si scalderà di più poi se funziona a velocità di rotazione costante lo sfruttamento tenderà ad abbassarsi ad un valore di equilibrio generalmente più basso.
Si deve considerare il tempo di funzionamento del motore , variazioni di velocità di rotazione e , ancora più importante, se il meccanismo giace sul piano verticale o orizzontale.

Una volta trovata l'equazione dell'inerzia riportata all'asse motore puoi calcolare il valore RMS dell'inerzia e della coppia necessaria che si avvicinerà allo sfruttamento termico del motore

se ho capito bene è un mezzo casino, perchè il leveraggio (della cui inerzia VUOI tener conto) cambia apertura, quindi i centri di massa delle due leve cambiano distanza dal punto blu, a seconda che la massa M sia a "ore 12" o a "ore 6". Questo perchè il centro di rotazione del motore non coincide con il centro della pista circolare su cui la massa scorre.

Quindi in realtà l'inerzia di tutto il meccanismo varia con la posizione angolare dello stesso.

Puoi fare due cose per semplificare:
- trascuri l'inerzia delle due leve;
- calcoli l'inerzia nella posizione disegnata da te nel post #1 e assumi che più o meno valga sempre.

la gravità dell'errore secondo me è più o meno la stessa in entrambi i casi.

Anche per quanto riguarda l'approccio matematico, suggerito da MekIng e altri: sono daccordo che l'approccio alle forme di energia sia il più efficace ma non è il più semplice, perchè le leve ruotano globalmente appresso alla massa M, ma rototraslano anche l'una rispetto all'altra per compensare l'eccentricità tra polo rosso e blu, quindi il legame cinematico tra loro e la massa M è una funzione seno o coseno.. è difficile ridurre tutto ad una variabile (es: la posizione angolare della massa M)