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Come stimare i parametri dei modelli di materiali non lineari in COMSOL Multiphysics®

I sistemi meccanici spesso contengono componenti che presentano un comportamento non lineare dei materiali. Gli esempi includono le grandi deformazioni elastiche nelle guarnizioni, la dipendenza dalla velocità di deformazione e l’isteresi durante il carico ciclico nelle gomme e nei tessuti biologici morbidi, e il flusso elastoplastico e il creep nei metalli. Insieme al modulo aggiuntivo Materiali Strutturali Nonlineari, COMSOL Multiphysics® contiene oltre un centinaio di modelli di materiali incorporati, che possono essere utilizzati per modellare il comportamento di materiali molto complessi. Tuttavia, uno svantaggio di questi modelli – spesso fenomenologici – è che possono contenere un gran numero di parametri del materiale, che devono essere calibrati per ogni materiale specifico, al fine di ottenere previsioni di modellazione accurate. Nel post di oggi, dimostreremo come questi parametri possono essere stimati dai dati sperimentali ottenuti da test su materiali comuni, utilizzando tecniche di minimizzazione non lineare dei minimi quadrati.

Test sui materiali comuni

Il punto di partenza per stimare i parametri del materiale è ottenere dati sperimentali rilevanti. Ciò che deve essere considerato rilevante dipende in gran parte dal tipo di materiale e dal tipo di carico previsto nell’applicazione finale, come discusso in un precedente post del blog. Ad esempio, un materiale lineare-elastico isotropo può essere caratterizzato con un singolo test monoassiale. I materiali che presentano una dipendenza dalla velocità di deformazione e dalla storia di carico richiedono ulteriori esperimenti, come il rilassamento, il creep o i test ciclici a diverse velocità di deformazione. Se il componente funziona a temperature elevate e/o variabili, potrebbe essere necessario tenere conto anche della dipendenza dalla temperatura delle proprietà del materiale.

Per i materiali sottoposti a grandi deformazioni, è anche importante testare il materiale in diversi stati di sollecitazione, anche se il comportamento del materiale è isotropo. Anche se può essere allettante calibrare un modello iperelastico su un singolo test monoassiale, come per l’elasticità lineare, la previsione di tale modello sotto carico compressivo o biassiale potrebbe produrre un comportamento del materiale inaspettato o addirittura instabile. Invece, una combinazione di esperimenti comunemente eseguiti per calibrare i materiali simili alla gomma comprende test di tensione monoassiale, taglio puro e tensione equibiassiale. Di seguito sono illustrati alcuni esempi di come realizzare tali esperimenti per campioni di un foglio di gomma sottile.

Da sinistra a destra: Test di tensione uniassiale, di taglio puro e di gonfiaggio equibiassiale su un foglio di gomma sottile. Le frecce rosse indicano lo spostamento prescritto e, per il test di gonfiaggio, la pressione di gonfiaggio applicata.

Per rapporti di aspetto dei campioni ben scelti, le configurazioni mostrate sopra danno luogo a stati di sollecitazione e deformazione omogenei al centro dei campioni. Questi possono essere stimati da quantità misurabili, come gli spostamenti applicati e le forze di reazione, o la pressione applicata e il raggio di curvatura della membrana gonfiata. I test sui materiali che determinano stati omogenei di sollecitazione e deformazione sono particolarmente ideali per la stima dei parametri, in quanto possono essere modellati con un singolo elemento, il che riduce notevolmente il costo computazionale.

Stima dei parametri Least-Squares non lineare

Con i dati sperimentali e la scelta del modello di materiale a disposizione, dobbiamo selezionare un algoritmo di ottimizzazione che confronti la previsione del modello attuale con i dati e aggiorni i parametri del materiale per minimizzare la differenza. Trovare i parametri del materiale sconosciuti, \mathbf{q}^*corrisponde quindi alla risoluzione di una cosiddetta problema inverso. Lo formuliamo matematicamente come un problema dei minimi quadrati ponderati,

\mathbf{q}^* = \mathrm{arg}},\min_\mathbf{q} \frac{1}{2} \mathbf{r}^\textrm{T}\, \mathbf{W} \, \mathbf{r}, \qquad \mathbf{r}(\mathbf{q}) = \mathbf{y} – \hat{\mathbf{y}},

dove \mathbf{W} è una matrice di pesi e \mathbf{r} è il cosiddetto difettoso oppure vettore residuoche contiene la differenza tra le previsioni del modello, \mathbf{y}e i dati sperimentali, \hat{\mathbf{y}}. La previsione del modello può dipendere sia esplicitamente che implicitamente dal parametro materiale, cioè, \mathbf{y} = \mathbf{y}(\mathbf{u}(\mathbf{q}), \mathbf{q})dove \mathbf{u} è la soluzione del problema di avanzamento.

Per illustrare meglio i diversi componenti del problema dei minimi quadrati, la forma quadratica può essere espansa in

\frac{1}{2} \mathbf{r}^\textrm{T}\,\mathbf{W}\,\mathbf{r} = \sum_{n=1}^N \underbrace{\frac{1}{2}\sum_{m=1}^{M_n} \frac{1}{s_{n,m}^2} \A sinistra[ P_n(\mathbf{q}; \lambda_m) – \hat{P}_{n,m}\right]^2}_{Q_n}.

Qui, N è il numero di set di dati; Q_n e M_n denota l’errore ai minimi quadrati e il numero di punti dati del set di dati nrispettivamente; e P_n(\mathbf{q}; \lambda_m) e \hat{P}_{n,m} indicano rispettivamente la previsione del modello e i dati sperimentali. Il parametro \lambda_m indica la variabile indipendente per l’esperimento, come il tempo o il tratto applicato. Inoltre, abbiamo ipotizzato che \mathbf{W} è una matrice diagonale con componenti 1/s_{n,m}^2dove s_{n,m} sono fattori di scala che pesano i diversi punti e insiemi di dati e assicurano che l’obiettivo sia adimensionale. Il problema dei minimi quadrati può anche essere aumentato da limiti inferiori e superiori sui parametri, che possono essere utilizzati per escludere regioni non fisiche dello spazio dei parametri in cui il modello del materiale è instabile.

In COMSOL Multiphysics®Sono disponibili diversi algoritmi di ottimizzazione per risolvere i problemi dei minimi quadrati. Nella maggior parte dei casi, l’obiettivo è una funzione ben educata dei parametri e il problema può essere risolto in modo efficiente utilizzando l’algoritmo Levenberg-Marquardt basato sul gradiente. In breve, il metodo Levenberg-Marquardt aggiorna i parametri in modo iterativo, alternando in modo adattivo un passo di aggiornamento nella direzione di discesa del gradiente quando si è lontani dal minimo e un passo Gauss-Newton più vicino al minimo, dove si può ottenere una convergenza quasi quadratica. Una quantità essenziale nell’algoritmo di aggiornamento è il Jacobiano

\mathbf{J} = \frac{\parziale \mathbf{r}}{\parziale \mathbf{q}} = \frac{\parziale \mathbf{y}}{\parziale \mathbf{q}},

che misura la sensibilità della previsione del modello alle variazioni dei parametri del materiale. In linea di principio, la valutazione del Jacobiano può essere eseguita analiticamente all’interno del solutore di ottimizzazione; tuttavia, se il problema è altamente non lineare e il modello previsionale è economico da valutare, un’approssimazione alle differenze finite del Jacobiano può essere spesso preferibile in termini di robustezza ed efficienza. Quando il Jacobiano non può essere calcolato correttamente – ad esempio, se l’obiettivo non è differenziabile – l’algoritmo di ottimizzazione senza gradiente con approssimazione quadratica (BOBYQA) è un’alternativa che non richiede il calcolo esplicito delle derivate.

Facoltativamente, il solutore Levenberg-Marquardt in COMSOL Multiphysics® può anche calcolare gli intervalli di confidenza e la matrice di covarianza completa come misure dell’incertezza dei parametri stimati. Questo può essere particolarmente utile se si ha una varianza nei dati sperimentali che si vuole propagare ai parametri del materiale. Per maggiori informazioni, consulti il tutorial Stima dei parametri con l’analisi della covarianza.

Esempi di stima non lineare dei parametri del materiale

In un precedente post sul blog, abbiamo esplorato come stimare i parametri del materiale per i modelli iperelastici, utilizzando espressioni analitiche delle curve di sollecitazione-deformazione derivate per due casi di carico comuni. Tuttavia, questo approccio non può essere facilmente esteso ai modelli di materiali anelastici, per i quali spesso non esistono soluzioni analitiche in forma chiusa. Invece, possiamo sfruttare i modelli di materiali integrati in COMSOL Multiphysics.®. Dimostriamo questo approccio per due casi: iperelasticità e viscoplasticità a grande deformazione.

Stima dei parametri di un modello iperelastico di Ogden

Nel primo esempio, calibreremo un modello iperelastico di Ogden sui dati di tensione uniassiale, taglio puro e tensione equibiassiale rappresentativi di un elastomero morbido.

Assumiamo che l’elastomero sia incomprimibile, in modo tale che la densità di energia di deformazione nel modello di Ogden si legge come

W_textrm{s} = \sum_{k=1}^K \frac{\mu_k}{\alpha_k} \left( \lambda_1^{\alpha_k} + \lambda_2^{\alpha_k} + \lambda_3^{{alfa_k} – 3 \right), \qquad \lambda_1\lambda_2\lambda_3 = 1.

In questo caso, si considerano due termini nella funzione di densità di energia di deformazione, per cui il problema consiste nel risolvere i quattro parametri materiali sconosciuti \mathbf{q} = (\mu_1, \alfa_1, \mu_2, \alfa_2)Come si vede nell’immagine sottostante.

L'interfaccia utente di COMSOL Multiphysics mostra il Model Builder con la funzione Materiale iperelastico evidenziata e la finestra Impostazioni corrispondente con le sezioni Materiale iperelastico e Impostazioni di quadratura espanse.
Impostazioni per il modello Ogden incomprimibile con due termini. Si noti che l’integrazione ridotta può essere utilizzata per ridurre il costo computazionale, poiché i casi di carico sono omogenei.

Dopo aver impostato il modello di materiale, possiamo importare i set di dati nelle tabelle dei risultati e collegarli alle espressioni del modello corrispondente, utilizzando il comando Obiettivo globale Least-Squares caratteristiche. L’immagine qui sotto mostra le impostazioni dell’obiettivo least-squares formato dai dati uniassiali. La variabile comp1.P_uautilizzato nel Espressione del modello è definita come la media del volume della variabile incorporata per la sollecitazione nominale, solido.PxX.

Nel Stima dei parametri fase di studio, aggiungiamo i tre obiettivi e specifichiamo i parametri del materiale da stimare. Nella fase Parametri stimati tabella, mu1 e alfa1 sono vincolati ad essere positivi, mentre mu2 e alfa2 sono vincolati ad essere negativi. Questi limiti assicurano che il modello materiale soddisfi i requisiti di stabilità noti, \mu_p\alfa_p > 0per il modello di Ogden.

Il progresso della soluzione può essere monitorato per ogni iterazione del solutore di ottimizzazione in un grafico che confronta la previsione del modello attuale con i dati sperimentali. Come si vede nell’animazione qui sotto, l’algoritmo Levenberg-Marquardt migliora rapidamente la previsione del modello uniassiale e di taglio puro e, dopo qualche altra iterazione, anche la risposta equibiassiale altamente non lineare.

Stima dei parametri di un Modello Viscoplstico Bergstrom-BoyceNel prossimo esempio, consideriamo il modello di materiale Bergstrom-Boyce più complesso per i polimeri viscoplastici, che presenta un comportamento dipendente dalla velocità di deformazione, dalla storia di carico e dalla temperatura. Di seguito sono riportate le curve stress-deformazione rappresentative di prove cicliche di trazione e compressione monoassiale a due diversi tassi di deformazione a temperatura ambiente.

Il modello di materiale Bergstrom-Boyce è disponibile in COMSOL Multiphysics® versione 6.2 nella Viscoplasticità dei polimeri a un sottonodo Materiale iperelastico caratteristica. In questo caso, il modello iperelastico padre definisce una rete di equilibrio elastica, mentre il sottonodo aggiunge una rete parallela di non equilibrio contenente un elemento elastico e uno anelastico. In questo esempio, modelliamo gli elementi elastici con la densità di energia di deformazione quasi incomprimibile di Arruda-Boyce e includiamo l’indurimento da deformazione e da sforzo nel flusso viscoplastico. In totale, il modello di materiale contiene sei parametri di materiale indipendenti, \mathbf{q} = (\mu_0^\textrm{eq}, N_\textrm{c}, \beta_\textrm{v}, A, c, n): il modulo di taglio della rete di equilibrio, \mu_0^\textrm{eq}Il numero di segmenti di catena, N_textrm{c}Il fattore energetico tra la rete di non equilibrio e quella di equilibrio, \beta_testrm{v}il coefficiente di portata viscoplastica, A; l’esponente dell’indurimento da deformazione, ce l’esponente dell’indurimento da stress, n.

Il problema dei minimi quadrati può ora essere impostato e risolto in modo simile a quanto fatto per l’iperelasticità. Come si vede nell’animazione sottostante, una soluzione visivamente soddisfacente si ottiene già dopo circa 5 iterazioni, anche se il solutore di ottimizzazione richiede circa 12 iterazioni fino alla convergenza. Questo perché i criteri di terminazione predefiniti del solutore Levenberg-Marquardt verificano se l’incremento dei parametri o l’angolo massimo tra il vettore del difetto e la Jacobiana è inferiore a una determinata tolleranza di ottimalità. Nelle impostazioni del solutore di ottimizzazione, può opzionalmente includere un criterio di terminazione aggiuntivo basato sulla variazione relativa del vettore difetto, che può essere utile se il solutore raggiunge un minimo locale relativamente piatto nello spazio dei parametri, dove i miglioramenti della funzione obiettivo sono piccoli. Tuttavia, i criteri di terminazione predefiniti sono normalmente più robusti rispetto alla terminazione basata sulla riduzione dei difetti.

Testare la stabilità del suo modello di materiale

Dopo aver stimato i parametri di un modello di materiale non lineare, è buona norma testare il modello di materiale per assicurarsi che sia numericamente stabile. Questo argomento sarà trattato in dettaglio nella Parte 2 di questa serie.

Conclusione e ulteriore apprendimento

In questo blog post, abbiamo dimostrato come stimare i parametri dei modelli di materiali strutturali non lineari in COMSOL Multiphysics.® dati provenienti da test su materiali tipici. L’approccio presentato è generalmente applicabile a qualsiasi tipo di modello di materiale e ai dati delle prove sui materiali.

Per eseguire personalmente la stima dei parametri di diversi modelli, con l’aiuto di istruzioni passo-passo, consulti i seguenti modelli nella Galleria delle applicazioni:

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