Quando un’onda piana di radiazione elettromagnetica, ad esempio la luce, è incidente su una struttura periodica planare, può verificarsi una diffrazione di ordine superiore. Ciò significa che la luce non solo si rifletterà e rifrangerà secondo la legge di Snell, ma potrà anche essere dispersa in più direzioni distinte, dette “diffrazione di ordine superiore”. ordini di diffrazione. L’utilizzo di un approccio geometrico può aiutarci a capire quando questi saranno presenti e in quali direzioni la luce si disperderà. Impariamo di più!
Capire la diffrazione da strutture periodiche planari
Considereremo qui un’onda piana di luce incidente su una struttura infinitamente periodica in un piano. I mezzi sopra e sotto il piano possono avere indici di rifrazione diversi e si presume che siano privi di perdite e di estensione infinita. Sul piano dell’interfaccia tra questi mezzi, possono esserci strutture periodiche di qualsiasi complessità in termini di proprietà del materiale e forma, purché si ripetano periodicamente nel piano. La luce incidente su una struttura di questo tipo subirà almeno una riflessione speculare; la luce può anche subire una rifrazione (chiamata anche trasmissione speculare) e spesso anche una perdita, in quanto l’energia elettromagnetica viene convertita in calore. Gli angoli di riflessione e rifrazione sono dati dalla legge di Snell, ma il calcolo della frazione di luce incidente che viene riflessa, trasmessa o dissipata all’interno della struttura periodica richiede un’analisi numerica.
Un’onda piana incidente con un angolo su una struttura periodica planare. Una cella unitaria della struttura periodica è evidenziata.
Come già detto, esiste anche la possibilità di una diffrazione di ordine superiore. Ciò si verifica quando la luce diffusa dalla struttura periodica interferisce in modo costruttivo in direzioni distinte. Un esempio di tale risultato è illustrato di seguito.
Illustrazione di un’onda piana polarizzata linearmente (giallo) incidente su una cella unitaria periodica. La luce incidente viene dispersa in diversi ordini di diffrazione con intensità e polarizzazioni diverse nella riflessione (rosso) e nella trasmissione (blu).
La determinazione della frazione di luce che va in queste altre direzioni richiede analogamente la costruzione di un modello numerico, ma la comprensione delle direzioni in cui la luce si disperderà può essere effettuata con un approccio puramente geometrico, chiamato costruzione della sfera di Ewald. È utile conoscere questo approccio prima di iniziare l’analisi numerica, ed è quello che mostreremo qui. La costruzione geometrica della sfera di Ewald può essere utilizzata sia per le strutture planari con periodicità in una direzione, sia per quelle con periodicità in due direzioni nel piano.
Strutture con periodicità in una direzione
Alcune strutture periodiche planari, come le griglie, hanno una variazione periodica in una sola direzione, il che significa che non c’è alcuna variazione nella struttura lungo la terza dimensione. Quando la luce incidente si propaga nel piano normale a questa terza dimensione, la modellazione può essere ridotta a un piano bidimensionale, con periodicità lungo una direzione.
Onda piana incidente ad angolo su una struttura con periodicità in una direzione, senza variazioni nella struttura o nei campi lungo la direzione fuori dal piano. Una cella unitaria è evidenziata.
Per queste strutture, dobbiamo considerare solo la distanza tra le celle unitarie, de iniziamo disegnando un insieme di punti del reticolo in spazio reciprocoPertanto, le dimensioni nella figura seguente hanno unità di misura di inverso lunghezza. La linea di questi punti reticolari corrisponde al piano dell’interfaccia della struttura periodica. La distanza tra i punti reticolari è 2\pi/de i punti sono indicizzati a partire dal punto zero del reticolo, m=0che può essere considerato come se si trovasse al centro della cella unitaria. Successivamente, vengono disegnati due semicerchi sopra e sotto la linea dei punti del reticolo. Questi hanno un raggio di n_{r}2\pi/\lambda_{0} sul lato della riflessione e n_{t}2\pi/\lambda_{0} sul lato trasmissione, dove n_{r} e n_{t} sono gli indici di rifrazione sui rispettivi lati e \lambda_{0} è la lunghezza d’onda dello spazio libero. Per la luce incidente proveniente da un angolo di \theta_{inc} dalla normale, il centro comune di questi cerchi è sfasato rispetto al punto zerotico del reticolo di sin(\theta_{inc})n_{r}2\pi/\lambda_{0}. I punti del reticolo che si trovano all’interno di questi semicerchi corrispondono ai possibili ordini di diffrazione.
La costruzione geometrica utilizzata per determinare gli ordini di diffrazione da una struttura planare con periodicità in una direzione, illuminata da un’onda piana incidente con un angolo. Si noti come il centro dei semicerchi (punto bianco) sia sfalsato rispetto al punto reticolare zeroth.
Questa costruzione può essere utilizzata anche per determinare le direzioni in cui avverrà la diffrazione e assegnare un’indicizzazione a ciascuna di esse. I vettori dal centro dei semicerchi alla proiezione dei punti del reticolo corrispondono ai vettori \textbf{k}-vettori di ogni ordine di diffrazione. L’indicizzazione di questi punti del reticolo è di segno opposto sui due lati. Le frecce verso i punti reticolari zerotici saranno sempre presenti; rappresentano la riflessione e la trasmissione speculare. La presenza di altri ordini di diffrazione dipende dalla lunghezza d’onda, dagli indici di rifrazione, dalla spaziatura e dall’angolo incidente. Due esempi di impostazione di questo tipo di modello sono mostrati nelle voci della Galleria delle applicazioni: Reticolo a filo plasmonico (RF), che utilizza il Modulo RF, e Reticolo a filo plasmonico (Wave Optics), che utilizza il Modulo Wave Optics.
I vettori d’onda dei vari ordini di diffrazione da una struttura planare con periodicità in una direzione. Si noti il cambio di segno dell’indicizzazione tra gli ordini di diffrazione per riflessione e per trasmissione.
Strutture con periodicità in due direzioni
Passiamo ora al caso della diffrazione da una struttura planare con periodicità in due direzioni nel piano. La figura seguente mostra le celle unitarie rettangolari, romboidali ed esagonali che modellano un piano. Queste sono definite da due vettori di celle unitarie, \textbf{a}_{1} e \textbf{a}_{2}che partono da un punto e seguono i bordi adiacenti fino al vertice successivo. Anche se siamo liberi di lavorare con le coordinate e l’orientamento che desideriamo, per gli scopi di questo blog post, sceglieremo di avere sempre le coordinate e l’orientamento che desideriamo. \textbf{a}_{1} allineato con il vettore cartesiano globale x-e di guardare sempre verso il basso sulla cella unitaria dalla direzione dell’illuminazione. Ci sono anche due vettori di base, \textbf{b}_{1} e \textbf{b}_{2}che descrivono come la cella unitaria deve essere spostata nel piano per produrre il modello di piastrellatura. Cioè, la modellazione dell’intero piano comporta la copia della cella unitaria di m\textbf{b}_{1}+n\textbf{b}_{2} per qualsiasi valore intero di m e n. La grandezza del prodotto incrociato di questi due vettori viene utilizzata per trovare l’area della cella unitaria: A_{c} = |||testobf{b}_{1}\times{testobf{b}_{2}||.
Le celle unitarie rettangolari, romboidali ed esagonali modellano il piano bidimensionale. I vettori delle celle unitarie corrispondono a due bordi della cella e i vettori di base descrivono come le celle devono essere spostate per modellare il piano.
Questi vettori di base vengono utilizzati per definire due vettori di diffrazione reciproca nello spazio: \textbf{d}_{1} = 2\pi(\textbf{b}_{2} \times \textbf{n})/A_{c} e \textbf{d}_{2} = 2\pi(\textbf{n} \ volte \textbf{b}_{1})/A_{c}dove \textbf{n} = (\textbf{b}_{1} \times \textbf{b}_{2})/A_{c} è il vettore normale al piano di periodicità, la +z-asse. Questi vettori di diffrazione sono perpendicolari ai vettori base e vengono utilizzati per creare un reticolo di diffrazione nel piano di periodicità, facendo delle somme intere: m\textbf{d}_1+n\textbf{d}_2Con ogni punto del reticolo corrispondente a una coppia di indici di m e n nel \textbf{d}_{1} e \textbf{d}_{2} direzioni. Sul lato di trasmissione della cella unitaria, i punti si trovano nelle stesse posizioni, ma gli indici sono scambiati e hanno segno opposto.
Ora possiamo visualizzare questi punti di diffrazione sul piano di periodicità nello spazio 3D e aggiungere un emisfero di raggio pari ai vettori d’onda nel materiale sopra e sotto il piano. Questi emisferi ci informano su quali ordini di diffrazione sono presenti nella riflessione e nella trasmissione. Inizialmente centriamo questa sfera in corrispondenza del m = 0, n = 0 punto, che rappresenta la luce normalmente incidente.
Luce a onda piana (freccia gialla) normalmente incidente su una cella unitaria esagonale periodica. I punti di diffrazione sono tracciati nel piano della periodicità e i punti evidenziati che si trovano all’interno degli emisferi di riflessione e trasmissione indicano quali ordini di diffrazione saranno presenti.
Successivamente, consideriamo cosa succede quando l’angolo di incidenza in elevazione e azimutale viene variato. Tenendo presente che abbiamo scelto la convenzione di mantenere l’angolo di incidenza di \textbf{a}_{1} allineato con il + globalex-L’aumento dell’angolo di elevazione dell’incidenza significa che il vettore d’onda incidente viene prima ruotato intorno all’asse -.y-asse; quindi, un aumento dell’angolo di incidenza azimutale applica una successiva rotazione attorno all’asse +z-asse. Quindi, l’angolo di incidenza di elevazione va da 0^{\circ} \le \alpha_{1} < 90^{\circ}e l’angolo di incidenza azimutale va da 0^{\circ} \le \alpha_{2} < 360^{\circ} come visualizzato di seguito. Il vettore dell’onda incidente, insieme alla normale al piano di periodicità, definisce il piano di incidenza. Il piano di incidenza è definito come il xz-per il caso di incidenza normale: \alpha_{1} = 0^{\circ}, \alpha_{2} = 0^{\circ}.
Queste modifiche agli angoli di incidenza cambiano la posizione del centro degli emisferi. La distanza nello spazio reciproco tra il centro dell’emisfero e il centro di m = 0, n = 0 il punto è k_{r} = \text{sin(}\alpha_{1}\text{)}2π/ \lambda_re la posizione è spostata nel piano di k_{x} = -k_{r}{testo{cos(}\alpha_{2}{testo{)} e k_{y} = -k_{r}{testo{sin(}\alpha_{2}{testo{)}Come mostrato di seguito. Quindi, una variazione dell’angolo di elevazione e dell’angolo azimutale spesso porta alla presenza di una serie diversa di ordini di diffrazione.
La luce a onda piana incidente con un’elevazione non nulla e un angolo di incidenza azimutale sposta il centro degli emisferi, per cui è presente una serie diversa di ordini di diffrazione.
Questi emisferi ci indicano anche i vettori d’onda di ciascun ordine di diffrazione. Proiettando i punti dell’ordine di diffrazione sugli emisferi, otteniamo un’altra serie di punti e i vettori d’onda di ogni ordine di diffrazione sono uguali ai vettori dal centro dell’emisfero a questi punti proiettati.
Proiettando i punti di diffrazione sugli emisferi si ottiene il vettore d’onda di ciascun ordine di diffrazione. Questa costruzione geometrica illustra in quali direzioni la luce incidente (gialla) sarà diffratta al momento della riflessione (rossa) e della trasmissione (blu). Può interagire con questo modello 3D con il mouse: clic sinistro per ruotare, clic destro per fare una panoramica e rotella di scorrimento per ingrandire.
Infine, questi vettori ci informano anche su come verrà riportato lo stato di polarizzazione. Per ogni ordine di diffrazione, viene riportato uno stato di polarizzazione in termini di componenti in-plane e out-of-plane dei vettori di polarizzazione. vettore Jones. Il piano di ogni ordine di diffrazione è il piano descritto dal vettore onda e dal vettore normale al piano di periodicità. La componente fuori dal piano del vettore Jones, per tutti gli ordini di diffrazione, corrisponde a un’onda con il campo elettrico parallelo al piano di periodicità.
Le direzioni degli ordini di diffrazione descrivono un insieme di piani che vengono utilizzati per definire lo stato di polarizzazione di ogni ordine di diffrazione. Il piano di incidenza e un ordine di diffrazione sono evidenziati. Può interagire con questo modello 3D con il mouse: clic sinistro per ruotare, clic destro per fare una panoramica e rotella di scorrimento per zoomare.
Conclusione
Abbiamo raggiunto la conclusione della costruzione geometrica che utilizza la sfera di Ewald per comprendere la diffrazione da strutture periodiche planari, e possiamo vedere che questo ci dice quali ordini di diffrazione superiori saranno presenti nella riflessione e nella trasmissione. Ci dice anche i loro vettori d’onda e l’insieme dei piani utilizzati per definire l’orientamento dei vettori di Jones. Otteniamo tutte queste informazioni automaticamente quando risolviamo un modello numerico, quindi questo tipo di costruzione geometrica non è necessaria, ma può essere utile per costruire la nostra comprensione e intuizione.