Per analizzare la derivata materiale degli integrali di volume e superficie, inizieremo definendo la derivata materiale, nota anche come derivata sostanziale. Poi, esamineremo la sua applicazione agli integrali di volume e di superficie, utilizzando la notazione matematica e i concetti del calcolo vettoriale.
La derivata materiale
La derivata D/Dt, nota anche come derivata temporale del materiale, è in effetti la derivata temporale della quantità B per un punto materiale fisso. E i punti materiali sono spesso definiti dal vettore posizione iniziale a t = 0. Il vettore posizione del punto materiale in qualsiasi momento t > 0 è dato da:
Qualsiasi variabile di flusso definita per un punto materiale arbitrario x0 sarà definita da B(x0,t).
Quindi la descrizione spaziale corrispondente sarà B[x(x0,t),t].
Dalla descrizione precedente, possiamo dire che esistono due tipi di derivate temporali:
La relazione tra le due derivate si può ottenere con l’applicazione della regola della catena:
Le derivate temporali in posizioni spaziali fisse sono chiamate derivate temporali euleriane, mentre quelle prese in un punto materiale fisso sono chiamate lagrangiane.
Veniamo ora alla derivata materiale degli integrali di volume, cioè al Teorema del Trasporto di Reynold che afferma che:
Il teorema di cui sopra non è altro che un’estensione della regola di differenziazione di Leibnitz quando i limiti dell’integrale stesso dipendono dal tempo.
Applicando la consueta definizione di derivata come limite di ‘delta t’ tendente a 0 al lato sinistro dell’equazione precedente, otteniamo:
Nell’equazione precedente aggiungiamo e sottraiamo il termine seguente:
L’equazione diventa quindi:
Il secondo termine è solo:
E il primo termine può essere riscritto come:
Il che dimostra che si tratta dell’integrale di B
Per trovare l’integrale di cui sopra, qualsiasi elemento differenziale dAm di Vm
Dove Am
Quindi la forma finale del Teorema del trasporto di Reynolds sarà:
Il passo successivo può essere fatto applicando il Teorema della Divergenza di Gauss sull’integrale dell’area del lato destro dell’equazione di cui sopra, per ottenere la forma familiare della forma differenziale equivalente dell’equazione di cui sopra.
Prendiamo il caso di una semplice applicazione in cui abbiamo la densità ρ(x ,t) al posto della variabile di flusso B(x, t). Poi otteniamo, applicando il Teorema della divergenza di Gauss come detto sopra, la forma differenziale finale della conservazione della massa:
Derivata materiale dell’integrale di superficie:
In questa sezione, applicheremo gli stessi concetti sviluppati in precedenza per il caso della derivata materiale degli integrali di volume per ottenere le equazioni di governo dell’equazione di diffusione della concentrazione di tensioattivi su un’interfaccia di due mezzi.
In questo caso, utilizzeremo il principio di conservazione della concentrazione di tensioattivi su un’area superficiale del materiale, ipotizzando l’assenza di fonti o pozzi, a causa di reazioni chimiche o di un flusso verso o dai liquidi circostanti in fase bulk. Quindi, otterremo:
Dove D/Dt è la derivata del materiale per i punti sull’interfaccia e Sm
Di nuovo, seguendo gli stessi passi descritti nella sezione precedente del Teorema di trasporto di Reynold per il volume del materiale e tenendo presente di sostituire gli integrali di volume con gli integrali di superficie e gli integrali di superficie con gli integrali di contorno, possiamo ottenere un’equazione per l’equazione di diffusione della concentrazione del tensioattivo su un’interfaccia di due mezzi:
Dove u = velocità delle particelle di tensioattivo lungo la superficie dell’interfaccia
Γ = concentrazione del tensioattivo sull’interfaccia
nc = vettore unitario normale al contorno dell’elemento di superficie
nt = vettore unitario tangenziale al contorno dell’elemento di superficie
n = vettore unitario normale alla superficie dell’interfaccia
Cm
Ora nc può essere riscritto come nc = nt x n.
Quindi, il secondo termine del lato destro dell’equazione precedente può essere riscritto come:
Dove dl = vettore tangenziale elementare lungo il contorno dell’elemento di superficie.
Quindi possiamo vedere che l’integrante all’interno dell’integrale non è altro che essenzialmente un triplo prodotto scalare di tre vettori Γu, dl e n che è [Γu dl n].
Utilizzando la proprietà del triplo prodotto scalare:
Ora, applicando il Teorema di Stokes su un contorno chiuso, possiamo convertire l’integrale del contorno nell’integrale della superficie delimitata dal contorno, vale a dire:
Valutando il termine contenente il triplo prodotto vettoriale, l’integrale di contorno di cui sopra può essere riscritto come:
Quindi, possiamo definire un nuovo operatore nel piano dell’interfaccia come:
Quindi, l’integrale di contorno del lato destro della derivata materiale dell’integrale di superficie può essere scritto come:
Quindi, la prima equazione di questa sezione per l’equazione della derivata materiale diventa:
Oppure,
Quindi, la forma differenziale sarà:
Dove:
Se scomponiamo la velocità del tensioattivo in due direzioni reciprocamente perpendicolari, cioè lungo la superficie dell’interfaccia e perpendicolare alla superficie dell’interfaccia, otterremo:
Quindi l’equazione differenziale di governo di cui sopra diventa:
Quindi, in assenza di diffusione, possiamo vedere che ci sono due termini che contribuiscono alla variazione di Γ, uno è la semplice convezione con la velocità di interfaccia noi, e il secondo termine noto come termine di diluizione. Se aggiungiamo un contributo di diffusione, considerando il fatto che il termine di diffusione sorge a causa del moto browniano e può essere espresso come gradiente di concentrazione di tensioattivo in analogia con il gradiente di temperatura in caso di conduzione termica diffusiva, la forma finale dell’equazione di diffusione della concentrazione di tensioattivo con il termine diffusivo diventerà:
Essenzialmente, questa equazione può essere utilizzata in una varietà di casi, come la spiegazione del movimento delle particelle di canfora sulla superficie dell’acqua, ecc.
Conclusione:
L’analisi matematica della derivata materiale degli integrali di volume e di superficie consente di comprendere più a fondo come evolvono le quantità fisiche in un fluido in movimento. Esaminando i cambiamenti temporali degli integrali di volume e di superficie dei campi scalari o vettoriali, possiamo ottenere approfondimenti sulla dinamica e sul comportamento dei sistemi di flusso fluido.